Introducción
El rango de una matriz es un concepto matemático que se utiliza en álgebra lineal. Se define como la dimensión del espacio generado por las filas o las columnas de la matriz, es decir, el número de vectores que son linealmente independientes entre sí. Conocer el rango de una matriz es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones, encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales y para estudiar propiedades geométricas de un conjunto de puntos en el espacio.
Método para calcular el rango de una matriz
Método de Gauss-Jordan
El método más común para calcular el rango de una matriz es el método de Gauss-Jordan. Este método consiste en realizar operaciones elementales sobre las filas o las columnas de la matriz hasta obtener una matriz escalonada reducida por filas. La cantidad de filas no nulas en la matriz escalonada reducida por filas es igual al rango de la matriz original.
Ejemplo
Supongamos que tenemos la siguiente matriz:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
Para calcular el rango de esta matriz, aplicamos el método de Gauss-Jordan. Primero restamos 4 veces la primera fila de la segunda fila:
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | -3 | -6 |
| 7 | 8 | 9 |
Luego, restamos 7 veces la primera fila de la tercera fila:
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | -3 | -6 |
| 0 | -6 | -12 |
Por último, multiplicamos la segunda fila por -1/3:
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 0 |
La matriz escalonada reducida por filas obtenida tiene 2 filas no nulas, por lo que el rango de la matriz original es 2.
Conclusión
Calcular el rango de una matriz es un proceso importante en álgebra lineal. El método de Gauss-Jordan es una herramienta muy útil para calcular el rango de una matriz de manera eficiente.
Referencias
- Axler, S. (1997). Linear algebra done right. Springer.
- Strang, G. (2006). Introduction to linear algebra. Wellesley-Cambridge Press.